Question

已知f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上偶函數(shù)，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）是單調(diào)增函數(shù)，且f（1）=0，則f（x+1）＜0的解集為

（-2，-1）∪（-1，0）

．

Answer 1

分析：由已知，不等式f（x+1）＜0等價(jià)于f（|x+1|）＜f（1），再利用函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，可去掉函數(shù)符號(hào)“f”，從而不等式可解．

解答：解：由于f（1）=0，所以不等式f（x+1）＜0可化為f（x+1）＜f（1），
又f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，
所以f（x+1）＜f（1）?f（|x+1|）＜f（1），
而當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）是單調(diào)增函數(shù)，
所以0＜|x+1|＜1，解得-2＜x＜0，且x≠-1．
即f（x+1）＜0的解集為（-2，-1）∪（-1，0）．
故答案為：（-2，-1）∪（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，而奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同．