Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù),,設(shè)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若以函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恰有四個不同的交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1) 的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。

(2)

(3) 當(dāng)時，的圖象與的圖象恰有四個不同的交點(diǎn)

【解析】

試題分析：解：（I），

∵，由，∴在上單調(diào)遞增。

由，∴在上單調(diào)遞減。

∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。

（II），

恒成立

當(dāng)時，取得最大值。

∴，∴

（III）若的圖象與的圖象恰有四個不同得交點(diǎn)，即有四個不同的根，亦即有四個不同的根。

令，

則

當(dāng)x變化時，、的變化情況如下表：

x
的符號	＋	－	＋	－
的單調(diào)性

由表格知：，

畫出草圖和驗(yàn)證可知，當(dāng)時，與恰有四個不同的交點(diǎn)。

∴當(dāng)時，的圖象與的圖象恰有四個不同的交點(diǎn)。

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)，函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是能結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號判定函數(shù)單調(diào)性，以及函數(shù)的最值，進(jìn)而得到求解。同時對于方程根的問題，轉(zhuǎn)換為圖像與x軸的交點(diǎn)個數(shù)來處理，屬于中檔題。