Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x³+ax²+a²x+1（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當a≠0時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（Ⅲ）當a=2時，是否存在函數(shù)y=f（x）圖象上兩點以及函數(shù)y=f'（x）圖象上兩點，使得以這四點為頂點的四邊形ABCD滿足如下條件：①四邊形ABCD是平行四邊形；②AB⊥x軸；③|AB|=4．若存在，指出四邊形ABCD的個數(shù)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=-x³+x²+x+1，得f（2）=-1，且f'（x）=-3x²+2x+1，f'（2）=-7．
所以，曲線f（x）=-x³+2x²-x+1在點（2，f（2））處的切線方程是y+1=-7（x-2），
整理得7x+y-13=0．
（Ⅱ）解：f（x）=-x³+ax²+a²x+1，f'（x）=-3x²+2ax+a²=-（3x+a）（x-a）．
令f'（x）=0，解得或x=a．
由于a≠0，以下分兩種情況討論．
（1）若a＞0，當x變化時，f'（x）的正負如下表：

x				a	（a，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函數(shù)f（x）在處取得極小值，且；
函數(shù)f（x）在x=a處取得極大值f（a），且f（a）=1+a³．
（2）若a＜0，當x變化時，f'（x）的正負如下表：

x	（-∞，a）	a
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值f（a），且f（a）=1+a³；
函數(shù)f（x）在處取得極大值，且．
（Ⅲ）若存在滿足題意的四邊形ABCD，則方程|f（x）-f'（x）|=4至少有兩個相異實根，且每個實根對應(yīng)一條垂直于x軸且與f（x）、f'（x）圖象均相交的線段，這些線段長度均相等．f（x）=-x³+2x²+4x+1，f'（x）=-3x²+4x+4=-（3x+2）（x-2）|f（x）-f'（x）|=|-x³+2x²+4x+1-（-3x²+4x+4）|=|x³-5x²+3|=4
x³-5x²+3=4時，x³-5x²-1=0，令g（x）=x³-5x²-1，g'（x）=3x²-10x
令g'（x）=0，得x=0或

x	（-∞，0）	0
g'（x）	+	0	-	0	+

由表格知，g（0）為g（x）的極大值，為g（x）的極大值，而g（0）=-1＜0，，故g（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，g（x）有且只有一個零點．
x³-5x²+3=-4時，x³-5x²+7=0，令g（x）=x³-5x²+7，g'（x）=3x²-10x，
由知g（0）為g（x）的極大值，為g（x）的極大值，而g（0）=7＞0，，故g（x）的圖象與x軸有三個交點，g（x）有三個零點．
由知，方程|x³-5x²+3|=4有四個不同的實根，從小到大依次記為x₁、x₂、x₃、x₄，這四個根對應(yīng)的四條線段中的每兩條對應(yīng)一個平行四邊形ABCD，共有（x₁、x₂），（x₁、x₃），（x₁、x₄），（x₂、x₃），（x₂、x₄），（x₃、x₄）6個，所以滿足題意的平行四邊形ABCD有6個．
分析：（Ⅰ）曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為在該點處的導數(shù)，所以只要求導，再求x=2時的導數(shù)，再用點斜式求出直線方程．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的極大值和極小值是導數(shù)等于0時的x的值，所以只要對函數(shù)f（x）求導，再令導數(shù)等于0，解出x的值，為極值點，再列表判斷極值點兩側(cè)導數(shù)的正負，若左正右負，為極大值，若左負右正，為極小值．
（Ⅲ）先假設(shè)存在函數(shù)y=f（x）圖象上兩點以及函數(shù)y=f'（x）圖象上兩點滿足條件，再根據(jù)這幾個條件計算即可．
點評：本題考查了函數(shù)在某點處的導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)求極值．