Question

已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1，x∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）若將y=f（x）的圖象向右平移ϕ（ϕ＞0）個單位，所得到的曲線恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點，求ϕ的最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）依題意，可知f（0）=1；
（2）利用北京公式與輔助角公式可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

），f（x-ϕ）=2sin（2x+

π

6

-2ϕ），利用y=2sin（2x+

π

6

-2ϕ）經(jīng)過坐標(biāo)原點，ϕ＞0，即可求得ϕ的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1，
∴f（0）=4cos0sin

π

6

-1=1；
（2）∵f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1
=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1
=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

），
∴f（x-ϕ）=2sin[2（x-ϕ）+

π

6

]=2sin（2x+

π

6

-2ϕ），
∵y=2sin（2x+

π

6

-2ϕ）經(jīng)過坐標(biāo)原點，
∴

π

6

-2Φ=kπ（k∈Z），
∴ϕ=

π

12

-

kπ

2

（k∈Z），又ϕ＞0，
∴當(dāng)k=0時，ϕ取得最小值，為

π

12

．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）是關(guān)鍵，考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．