Question

14．已知A，B分別為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，不同兩點(diǎn)P，Q在雙曲線C上，且關(guān)于x軸對稱，設(shè)直線AP，BQ的斜率分別為λ，μ，則當(dāng)$\frac{16}{λμ}$+λμ取最大值時(shí)，雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)P（x₀，y₀），則Q（x₀，-y₀），y₀²=b²（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$-1）．A（-a，0），B（a，0），利用斜率計(jì)算公式得到：λμ=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，運(yùn)用基本不等式求得最大值，注意等號成立的條件，再由離心率公式即可得出．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），則Q（x₀，-y₀），y₀²=b²（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$-1），
即有$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
由雙曲線的方程可得A（-a，0），B（a，0），
則λ=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，μ=$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$，
∴λμ=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
$\frac{16}{λμ}$+λμ=-[（-$\frac{16}{λμ}$）+（-λμ）]≤-2$\sqrt{\frac{16}{-λμ}•（-λμ）}$=-8，
當(dāng)且僅當(dāng)λμ=-4，即有b=2a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
可得離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線的斜率公式，利用基本不等式求最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．