分析 (1)利用橢圓的簡單性質(zhì),結(jié)合已知條件求出a,b,得到橢圓方程.
(2)設(shè)lPQ:x=my+√5與4x2+9y2=36聯(lián)立,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),利用韋達(dá)定理以及判別式,通過→PF=2→FQ求出m,然后求解直線方程.
(3)設(shè)M(x0,y0),N(x0,-y0),則lPM:y−y0=y0−y1x0−x1(x−x0),令y=0得xR=−y0(x0−x1)y0−y1+x0同理lPN:y+y0=−y0−y1x0−x1(x−x0),通過化簡|OR|•|OS|,結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程,化簡求解|OR|•|OS|=9.
解答 解:(1)由題意得2b2a=83,且a=3,∴b2=4,故橢圓方程為x29+y24=1
(2)設(shè)lPQ:x=my+√5與4x2+9y2=36聯(lián)立,
得:(4m2+9)y2+8√5my−16=0
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則{△>0y1+y2=−8√5m4m2+9y1y2=−164m2+9
由→PF=2→FQ得y1=-2y2,(y1+y2)2y1y2=y1y2+2+y2y1=−12
即−20m24m2+9=−12∴m2=14,
∴lPQ:y=±2(x−√5);
(3)證明:設(shè)M(x0,y0),N(x0,-y0),則lPM:y−y0=y0−y1x0−x1(x−x0),
令y=0得xR=−y0(x0−x1)y0−y1+x0,同理lPN:y+y0=−y0−y1x0−x1(x−x0),
得xS=y0(x0−x1)−y0−y1+x0,
∴|OR|•|OS|=(−y0(x0−x1)y0−y1+x0)•(y0(x0−x1)−y0−y1+x0)=x12y02−x02y12y02−y12(#)
又x129+y124=1,x029+y024=1∴x12=9(1−y124),∴x02=9(1−y024)代入(#)
得:∴|OR|•|OS|=9.
點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.難度比較大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | |{b-a+\frac{1}{c-b}}|≥2 | B. | a3b+b3c+c3a≥a4+b4+c4 | ||
C. | b2≥ac | D. | |b|-|a|≤|c|-|b| |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 4\sqrt{30} | B. | \sqrt{23} | C. | 23 | D. | 25 |
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