Question

已知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點P滿足|PF₁|-|PF₂|=2，記點P的軌跡為E；
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）若直線l過點F₂且與軌跡E交于P、Q兩點；
①設點M（m，0），問：是否存在實數(shù)m，使得直線l繞點F₂無論怎樣轉動，都有成立？若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由；
②過P、Q作直線的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支，從而可求軌跡E的方程
（Ⅱ）①斜率存在時，假設直線方程與雙曲線方程聯(lián)立．假設存在實數(shù)m，使得，故得3（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0對任意的k²＞3恒成立，從而可求m的值；當直線l的斜率不存在時，知結論也成立．
②利用雙曲線定義，進而表示出，根據(jù)k²＞3，可求，注意到直線的斜率不存在時，，故．
解答：解：（Ⅰ）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支，由c=2，2a=2，∴b²=3，故軌跡E的方程為．…（3分）
（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，設直線l方程為y=k（x-2），與雙曲線方程聯(lián)立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），

∴，解得k²＞3
（i）∵=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+m²+4k²
==…（7分）
假設存在實數(shù)m，使得，
故得3（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0對任意的k²＞3恒成立，
∴，解得m=-1．∴當m=-1時，．
當直線l的斜率不存在時，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知結論也成立，
綜上，存在m=-1，使得．
（ii）∵a=1，c=2，∴直線是雙曲線的右準線，
由雙曲線定義得：，，
∴==．
∵k²＞3，∴，∴
注意到直線的斜率不存在時，，綜上，．
點評：本題以雙曲線的定義為載體，主要考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，注意向量條件的轉化．