Question

若直線ax+2by-2=0（a，b＞0）始終平分圓x²+y²-4x-2y-8=0的周長，則

1

a

+

2

b

的最小值為

3+2

2

．

Answer 1

分析：由題意可知圓x²+y²-4x-2y-8=0的圓心（2，1）在直線ax+2by-2=0上，可得a+b=1，而

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（a+b），展開利用基本不等式可求最小值

解答：解：由圓的性質(zhì)可知，直線ax+2by-2=0即是圓的直徑所在的直線方程
∵圓x²+y²-4x-2y-8=0的標準方程為（x-2）²+（y-1）²=13，
∴圓心（2，1）在直線ax+2by-2=0上
∴2a+2b-2=0即a+b=1
∵

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（a+b）=3+

b

a

+

2a

b

≥3+2

b a • 2a b

=3+2

2

∴

1

a

+

2

b

的最小值3+2

2

故答案為：3+2

2

點評：本題主要考查了圓的性質(zhì)的應(yīng)用，利用基本不等式求解最值的問題，解題的關(guān)鍵技巧在于“1”的基本代換