Question

（2007•青島一模）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為

S

n

=

n2+3n

2

(n∈N*)，等比數(shù)列{b_n}滿足b₁+b₂=3，b₄+b₅=24，設(shè)cn=

an(n為偶數(shù)) bn(n為奇數(shù))

，求數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

分析：利用

S

n

=

n2+3n

2

(n∈N*)，再寫(xiě)一式，兩式相減，可得{a_n}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，在求出等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用分組求和，根據(jù)等差數(shù)列，等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論．

解答：解：由Sn=

n2+3n

2

(n∈N*)得：

an=Sn-Sn-1= n2+3n 2 - (n-1)2+3(n-1) 2 =n+1(n≥2)…(2分) ∴an-an-1=(n+1)-[(n-1)+1]=1(n≥2)

又a₁=S₁=2符合a_n=n+1
∴{a_n}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
∴a_n=n+1（n∈N^*）…（4分）
設(shè){b_n}的公比為q，則有

b4+b5

b1+b2

=

b1q3+b1q4

b1+b1q

=q3=8
∴q=2…（6分）
又b₁+b₂=b₁+b₁q=3
∴b₁=1
∴b_n=2^n-1…（8分）
∴T_2n=（b₁+b₃+b₅+…+b_2n-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）
=（1+2²+2⁴+…2^2n-2）+[3+5+7+…+（2n+1）]
=

1-4n

1-4

+

n(3+2n+1)

2

=

4n-1

3

+n2+2n…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．