Question

{a_n}是各項為正整數的等差數列，若公差d∈N^*，且{a_n}中任意兩項之和也是該數列中的項，若a₁=2^m
（m∈N^*），則d的所有取值的和為

 

．

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：依題意可得d=

2m

k-p-q+1

，進一步分析可得d=1，2，4，…，2^m，利用等比數列的求和公式即可求得答案．

解答： 解：由題意可得，a_p+a_q=a_k，其中p、q、k∈N^*，
由等差數列的通項公式可得a₁+（p-1）d+a₁+（q-1）d=a₁+（k-1）d，
整理得d=

a1

k-p-q+1

，
∵a₁=2^m（m∈N^*），∴d=

2m

k-p-q+1

，
又p、q、k∈N^*，公差d∈N^*，
∴k-p-q+1∈N^*，即{a_n}中任意兩項之和也是該數列中的項，
∴d=1，2，4，…，2^m，
∴d的所有可能取值的和為1+2+4+…+2^m=

1×(1-2m+1)

1-2

=2^m+1-1，
故答案為：2^m+1-1．

點評：本題考查等差數列的性質，分析求得d=1，2，4，…，2^m是關鍵，也是難點，考查邏輯思維與運算能力，屬于難題．