如圖,四棱柱中,平面.
(Ⅰ)從下列①②③三個(gè)條件中選擇一個(gè)做為的充分條件,并給予證明;
①,②;③是平行四邊形.
(Ⅱ)設(shè)四棱柱的所有棱長都為1,且為銳角,求平面與平面所成銳二面角的取值范圍.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)由平面和可以得到平面,從而可以得到,結(jié)合作已知條件,可以證明平面,進(jìn)而可以得到;
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,將題中涉及的關(guān)鍵點(diǎn)用參數(shù)表示出來,并將問題中涉及的二面角的余弦值利用參數(shù)表示出來,結(jié)合函數(shù)的方法確定二面角的余弦值的取值范圍,進(jìn)而確定二面角的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)條件②,可做為的充分條件. 1分
證明如下:
平面,,平面, 2分
∵平面,.
若條件②成立,即,∵,平面, 3分
又平面,. ..4分
(Ⅱ)由已知,得是菱形,.
設(shè),為的中點(diǎn),則平面,
∴、、交于同一點(diǎn)且兩兩垂直. 5分
以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.6分
設(shè),,其中,
則,,,,,
,, 7分
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,
由得令,則,,
, 9分
又是平面的一個(gè)法向量, 10分
, 11分
令,則,為銳角,
,則,,
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減,,
所以, 12分
又, ,
即平面與平面所成角的取值范圍為. 13分
考點(diǎn):直線與平面垂直、二面角、函數(shù)的單調(diào)性
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆甘肅省蘭州一中高三第三次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,四棱柱中,平面,底面是邊長為的正方形,側(cè)棱.
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年山東省高三第二次(3月)周測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,四棱柱中,平面,底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱,
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若棱上存在一點(diǎn),使得,
當(dāng)二面角的大小為時(shí),求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年山東省高三第七次階段復(fù)習(xí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,四棱柱中,平面,底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱,
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若棱上存在一點(diǎn),使得,
當(dāng)二面角的大小為時(shí),求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年甘肅省高三第三次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
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如圖,四棱柱中,平面,底面是邊長為的正方形,側(cè)棱.
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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