Question

已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（1，0）的距離與到定直線L：x=-1的距離相等，
（1）求曲線C的方程；
（2）直線m過(guò)（-2，1），斜率為k，k為何值時(shí)，直線m與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由拋物線的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是拋物線；
（2）設(shè)直線m的方程為y-1=k（x+2），與拋物線的方程聯(lián)立可化為k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0．
分類討論：當(dāng)k=0時(shí)，直線m∥x軸，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k≠0時(shí)，若直線與m相切時(shí)?直線m與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)?△=0，解出即可；
        當(dāng)直線m與拋物線相交時(shí)?線m與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)?△＞0，解出即可；
        當(dāng)△＜0?直線m與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，解出即可．

解答： 解：（1）由拋物線的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是拋物線：y²=4x．
（2）設(shè)直線m的方程為y-1=k（x+2），聯(lián)立

y-1=k(x+2) y2=4x

．
化為k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0．
①當(dāng)k=0時(shí)，直線m∥x軸，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；
②當(dāng)k≠0時(shí)，若直線與m相切時(shí)，直線m與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)△=0，化為2k²+k-1=0，解得k=-1或k=

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2

．
當(dāng)直線m與拋物線相交時(shí)，線m與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)△＞0，化為2k²+k-1＜0，解得-1＜k＜

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2

．（k≠0）．
當(dāng)△＜0，直線m與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，由△＜0化為2k²+k-1＞0，解得k＞

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2

或k＜-1．
綜上可知：當(dāng)k=0或k=-1或k=

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2

時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)-1＜k＜

1

2

且k≠0時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)k＞

1

2

或k＜-1時(shí)，直線m與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，考查了計(jì)算能力，屬于難題．