Question

一只小球放入一長方體容器內，且與共點的三個面相接觸．若小球上一點到這三個面 的距離分別為4、5、5，則這只小球的半徑是

1. A.
   3 或 8
2. B.
   8 或 11
3. C.
   5 或 8
4. D.
   3 或 11

Answer 1

D
分析：小球在長方體容器內，且與共點的三個面相接觸，則小球的球心A到三個接觸面的距離相等，小球上一點P到這三個面的距離分別為4、5、5，若以三個面的交點為坐標原點，分別以其中兩個面的交線為坐標軸建立空間直角坐標系后，球心和小球上的點的坐標可知，向量和的坐標可求，由向量減法的三角形法則可得向量，向量的模就是小球的半徑，由半徑相等列式可求這只小球的半徑．
解答：解：如圖，
設長方體的三個面共點為O，以OE，OF，OG所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
因為小球與共點的三個面相接觸，所以設球心A（r，r，r），
又因為小球上一點P到這三個面的距離分別為4、5、5，
所以點為P（5，4，5），
則，．
由=（5-r，4-r，5-r）．
∴，
即r²-14r+33=0，解得：r=3或r=11．
故選D．
點評：本題考查了求外切多面體，考查了空間點、線、面間的距離的計算，利用空間向量處理該題起到事半功倍的效果，屬中檔題．