Question

四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，E、F分別是棱AB、CD的中點(diǎn)，直線EF被球面所截得的線段長(zhǎng)為2

2

，則該球表面積為（　�。�

A．12π

B．24π

C．36π

D．48π

Answer 1

分析：將三視圖還原為直觀圖，得四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)位于同一個(gè)正方體的頂點(diǎn)處，且與該正方體內(nèi)接于同一個(gè)球．由此結(jié)合題意，可得正文體的棱長(zhǎng)為2，算出外接球半徑R，再結(jié)合球的表面積公式，即可得到該球表面積．

解答：解：將三視圖還原為直觀圖如右圖，可得四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)位于同一個(gè)正方體的頂點(diǎn)處，
且與該正方體內(nèi)接于同一個(gè)球．且該正方體的棱長(zhǎng)為a
設(shè)外接球的球心為O，則O也是正方體的中心，設(shè)EF中點(diǎn)為G，連接OG，OA，AG
根據(jù)題意，直線EF被球面所截得的線段長(zhǎng)為2

2

，即正方體面對(duì)角線長(zhǎng)也是2

2

，
∴得AG=

2

=

2

2

a，所以正方體棱長(zhǎng)a=2
∴Rt△OGA中，OG=

1

2

a=1，AO=

3

，
即外接球半徑R=

3

，得外接球表面積為4πR²=12π．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了將三視圖還原為直觀圖，并且求外接球的表面積，著重考查了正方體的性質(zhì)、三視圖和球內(nèi)接多面體等知識(shí)，屬于中檔題．