（2013•綿陽二模）已知△ABC的面積S滿足3≤S≤3
3
，且
AB
•
BC
=6，
AB
與
BC
的夾角為θ．
（Ⅰ）求θ的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最大值．
分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積、三角形的面積公式和正切函數(shù)的單調(diào)性即可求出；
（Ⅱ）利用三角恒等變形及三角函數(shù)的單調(diào)性即可求出．
解答：解：（I）由題意知
AB
•
BC
=|
AB
||
BC
|cosθ=6．
S=
1
2
|
AB
| |
BC
|sin(π-θ)=
1
2
|
AB
| |
BC
|sinθ
=
1
2
|
AB
| |
BC
|cosθtanθ
=
1
2
×6tanθ=3tanθ．
∵3≤S≤3
3
，
∴3≤3tanθ≤3
3
，∴1≤tanθ≤
3
．
又∵θ∈[0，π]，∴
π
4
≤θ≤
π
3
．
（II）∵f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ
=1+sin2θ+2cos2θ
=2+sin2θ+cos2θ=2+
2
sin(2θ+
π
4
)．
∵θ∈[
π
4
，
π
3
]
，∴(2θ+
π
4
)∈[
3π
4
，
11π
12
]．
∵y=sinx在[
π
2
，π]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)2θ+
π
4
=
3π
4
，即θ=
π
4
時，sin(2θ+
π
4
)取得最大值
2
2
，
∴f（θ）的最大值為2+
2
×
2
2
=3．
點評：熟練掌握向量的數(shù)量積運算和三角函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．
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1
2
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x2
4
-
y2
12
=1與雙曲線
x2
m
-
y2
n
=1是“相近雙曲線”，則
n
m
的取值范圍是
[
4
21
，
4
5
]∪[
5
4
，
21
4
]
[
4
21
，
4
5
]∪[
5
4
，
21
4
]
．

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13
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