Question

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（0，5），B（-8，-3），C、D在該橢圓上，直線CD過原點(diǎn)O，且在線段AB的右下側(cè)．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求四邊形ABCD 的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直接把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后求出D的坐標(biāo)，分別求出A，B到直線CD的距離，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積和，然后利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）將點(diǎn)A（0，5），B（-8，-3）代入橢圓G 的方程解得：

25 b2 =1 (-8)2 a2 + (-3)2 b2 =1

，解得：a²=100，b²=25．
∴橢圓G的方程為：

x2

100

+

y2

25

=1； 
（2）連結(jié)OB，
則S四邊形ABCD=S△OAB+S△AOD+S△BOC=

1

2

|xB|×AO+

1

2

dA×OD+

1

2

dB×OC，
其中d_A，d_B分別表示點(diǎn)A，點(diǎn)B 到直線CD 的距離．
設(shè)直線CD方程為y =kx，代入橢圓方程

x2

100

+

y2

25

=1，得x²+4k²x²-100=0，
解得：D(

10

1+4k2

 ， 

10k

1+4k2

)，
∴OC=OD=

10 1+k2

1+4k2

，
又dA=

5

1+k2

，dB=

8k-3

1+k2

 (k＞

3

8

)，
則S四邊形ABCD=

1

2

×8×5+

1

2

×

5

1+k2

×

10 1+k2

1+4k2

+

1

2

×

8k-3

1+k2

×

10 1+k2

1+4k2

 
=20+10×

16k2+8k+1 1+4k2

≤20+10

16k2+4(k2+1)+1 1+4k2

=20+10

5

．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，涉及直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是壓軸題．