Question

已知二次函數(shù)f（x）的圖象頂點(diǎn)為A（1，16），且圖象在x軸上截得線段長(zhǎng)為8．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f（x）-（t-x）x-3的圖象始終在x軸上方，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，結(jié)合已知函數(shù)在x軸上截得線段長(zhǎng)為8，可得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），（5，0），可設(shè)函數(shù)為f（x）=a（x+3）（x-5）（a＜0），將（1，16）代入可求
（2）g（x）=f（x）-（t-x）x-3=（2-t）x+12，x∈[0，2]，結(jié)合題意可得

g(0)＞0 g(2)＞0

，代入可求

解答：解：（1）∵二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為（1，16），
∴函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1
∵在x軸上截得線段長(zhǎng)為8，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），（5，0），…（2分）
又∵開口向下，設(shè)原函數(shù)為f（x）=a（x+3）（x-5）（a＜0）…（4分）
將（1，16）代入得a=-1，…（6分）
∴所求函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=-x²+2x+15．           …（7分）
（2）g（x）=f（x）-（t-x）x-3=（2-t）x+12，x∈[0，2]…（9分）
由g（x）得圖象在x軸上方，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得

g(0)＞0 g(2)＞0

，…（12分）
即-2t+16＞0
解得t＜8                    …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱軸找出二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)