【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,BDDC,點EBC邊的中點,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖2所示的幾何體.

AD1,二面角CABD的平面角的正切值為,求二面角BADE的余弦值.

【答案】

【解析】

根據(jù)已知可得平面,,進(jìn)而有AB⊥平面ADC,得出二面角CABD的平面角為∠CAD,求出,以D為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,確定點坐標(biāo),求出平面BAD的法向量坐標(biāo),利用平面BAD的一個法向量=(01,0),由空間向量面面角公式,即可求解.

平面ABD⊥平面BCD,平面ABD平面BCD

BDDC平面,平面,

平面,,

AB⊥平面ADC,

所以二面角CABD的平面角為∠CAD.

DC⊥平面ABD,AD平面ABD,所以DCAD.

依題意tanCAD.

因為AD1,所以CD.

設(shè)ABxx0),則BD.

依題意△ABD∽△DCB,所以,

,解得x,

AB,BDBC

D為坐標(biāo)原點,射線DBDC分別為x軸,y軸的正半軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,

D0,00),B,0,0),C0,,0),

所以.

平面BAD的一個法向量=(0,10.

設(shè)平面ADE的法向量為=(x,y,z),

得,

x,得y=-,z=-,

所以為平面ADE的一個法向量.

所以.

由圖可知二面角BADE的平面角為銳角,

所以二面角BADE的余弦值為.

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B.2018年與2017年相比較,Ⅰ、Ⅱ類水質(zhì)的占比明顯增加

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