Question

已知曲線y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y軸的切線，函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上單調(diào)遞減，則a的范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)曲線y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y軸的切線，即y'=0有解，利用f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上單調(diào)遞減，則f'（x）≤0恒成立．
解答：解：因?yàn)閥=（a-3）x³+lnx存在垂直于y軸的切線，即y'=0有解，即y'=在x＞0時(shí)有解，
所以3（a-3）x³+1=0，即a-3＜0，所以此時(shí)a＜3．
函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上單調(diào)遞減，則f'（x）≤0恒成立，
即f'（x）=3x²-2ax-3≤0恒成立，即，
因?yàn)楹瘮?shù)在[1，2]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最大值為，
所以，所以．
綜上．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，要求熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的基本應(yīng)用．