解答題

如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過橢圓中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(1)

建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；

(2)

如果橢圓上有兩點(diǎn)P、Q，使∠PCQ的平分線垂直于AO，證明：．

答案：
解析：

(1)

解：以O為原點(diǎn)，OA為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(2，0)，則橢圓方程為∵O為橢圓中心，∴由對稱性知|OC|＝|OB|

又∵，∴AC⊥BC又∵|BC|＝2|AC|，∴|OC|＝|AC|

∴△AOC為等腰直角三角形∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，1)∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，－1)將C的坐標(biāo)(1，1)代入橢圓方程得，則求得橢圓方程為

(2)

證：由于∠PCQ的平分線垂直于OA(即垂直于x軸)，不妨設(shè)直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為－k，因此直線PC、QC的方程分別為y＝k(x－1)＋1，y＝－k(x－1)＋1由得：(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0(*)∵點(diǎn)C(1，1)在橢圓上，∴x＝1是方程(*)的一個(gè)根，∴xP?＝即xP＝同理xQ＝∴直線PQ的斜率為又∵，∴．


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題A、B、C三個(gè)選答題，請考生任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
A．（不等式選講選做題）若不等式|x-1|+|x-m|＜2m的解集為∅，則m的取值范圍為
（-∞，
1
3
]
（-∞，
1
3
]
．
B．（幾何證明選講選做題）如圖所示，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長線相交于點(diǎn)D．過點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF=3，F(xiàn)B=1，EF=
3
2
，則線段CD的長為
4
3
4
3
．
C．（極坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，ρ（2，
π
3
）的直角坐標(biāo)是
(1，
3
)
(1，
3
)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2004年高考教材全程總復(fù)習(xí)試卷·數(shù)學(xué) 題型：044

如圖所示，已知圓的方程是(x－1)2＋y2＝1，四邊形PABQ為該圓內(nèi)接梯形，底邊AB為圓的直徑且在x軸上，以A，B為焦點(diǎn)的橢圓C過P，Q兩點(diǎn)．

(1)若直線QP與橢圓C的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)當(dāng)梯形PABQ周長最大時(shí)，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：成功之路·突破重點(diǎn)線·數(shù)學(xué)（學(xué)生用書） 題型：047

如圖所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥面ABCD．

(1)問BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，并說明理由．

(2)若PA＝1，且BC邊上有且只有一點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD．求這時(shí)二面角Q－PD－A的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2004年高考教材全程總復(fù)習(xí)試卷·數(shù)學(xué) 題型：044

如圖所示，已知x，y滿足不等式組求z＝20－2y＋x的最大值和最小值．

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