Question

已知函數(shù)f（x）=21nx+ax²-1 （a∈R）
（I）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若a=l，試解答下列兩小題．
（i）若不等式f（1+x）+f（1-x）＜m對任意的0＜x＜l恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（ii）若x₁，x₂是兩個不相等的正數(shù)，且以f（x₁）+f（x₂）=0，求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

（I）解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=
令f′（x）＞0，∵x＞0，∴2ax²+2＞0
①當a≥0時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）遞增區(qū)間是（0，+∞）；
②當a＜0時，由2ax²+2＞0可得＜x＜
x＞0，∴f（x）遞增區(qū)間是（0，），遞減區(qū)間為；
（Ⅱ）（i）解：設F（x）=f（1+x）+f（1-x）=2ln（1+x）+2ln（1-x）+2x²，則F′（x）=
∵0＜x＜l，∴F′（x）＜0在（0，1）上恒成立，∴F（x）在（0，1）上為減函數(shù)
∴F（x）＜F（0）=0，∴m≥0，∴實數(shù)m的取值范圍為[0，+∞）；
（ii）證明：∵f（x₁）+f（x₂）=0，
∴21nx₁+x₁²-1+21nx₂+x₂²-1=0
∴2lnx₁x₂+（x₁+x₂）²-2x₁x₂-2=0
∴（x₁+x₂）²=2x₁x₂-2lnx₁x₂+2
設t=x₁x₂，則t＞0，g（t）=2t-2lnt+2，∴g′（t）=
令g′（t）＞0，得t＞1，∴g（t）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增
∴g（t）_min=g（1）=4，∴（x₁+x₂）²＞4，∴x₁+x₂＞2．
分析：（I）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），求導函數(shù)，令f′（x）＞0，分類討論可得函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）（i）構造函數(shù)F（x）=f（1+x）+f（1-x）=2ln（1+x）+2ln（1-x）+2x²，求導函數(shù)，確定F（x）在（0，1）上為減函數(shù)，從而可求實數(shù)m的取值范圍；
（ii）由f（x₁）+f（x₂）=0，可得（x₁+x₂）²=2x₁x₂-2lnx₁x₂+2設t=x₁x₂，則t＞0，g（t）=2t-2lnt+2，求出g（t）_min，即可證得結論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，解題的關鍵是構造函數(shù)，正確運用導數(shù)．