Question

已知，，的夾角為，試求：
（1）+與-夾角的余弦值．
（2）使向量+λ與λ-的夾角為鈍角時(shí)，λ的取值范圍．

Answer 1

解：∵，，的夾角為，
∴==1
（1）∵（+）²=+2+=1+2×1+4=7，（-）²=-2+=1-2×1+4=3，
∴|+|=，|-|=
設(shè)+與-的夾角為α，則
cosα===-，
即+與-夾角的余弦值等于-
（2）根據(jù)題意，不存在λ值，使向量+λ與λ-的夾角為π，
∴向量+λ與λ-的夾角為鈍角時(shí)，可得
（+λ）（λ-）＜0，即λ+（λ²-1）-λ＜0
將，和=1代入，可得
λ+（λ²-1）-4λ＜0，整理得λ²-3λ-1＜0
解這個(gè)不等式，得＜λ＜
因此λ的取值范圍是（，）．
分析：（1）由向量數(shù)量積公式，算出=1，從而得到|+|=，|-|=．最后用向量的夾角公式，即可得到+與-夾角的余弦值．
（2）根據(jù)題意，得向量+λ與λ-的數(shù)量積為負(fù)數(shù)，因此計(jì)算+λ與λ-的數(shù)量積并代入題中的數(shù)據(jù)，得到關(guān)于λ的一元二次不等式，解之即可得到實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
點(diǎn)評：本題給出兩個(gè)向量的模與夾角，求它們和向量與差向量夾角的大小，并討論向量夾角為鈍角的問題，著重考查了平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．