Question

古代印度婆羅門教寺廟內(nèi)的僧侶們曾經(jīng)玩過一種被稱為“河內(nèi)寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設(shè)有n（n∈N*）個(gè)圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現(xiàn)要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動(dòng)一個(gè)，而且任何時(shí)候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．現(xiàn)用a_n表示將n個(gè)圓盤全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動(dòng)的次數(shù)，回答下列問題：
（1）寫出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）記b_n=a_n+1，求和（i，j∈N*）；（其中表示所有的積b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和）
證明：≤++…+＜（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意要將n個(gè)圓盤全部轉(zhuǎn)移到C柱上，只需先將上面n-1個(gè)圓盤轉(zhuǎn)移到B柱上，需要a_n-1次轉(zhuǎn)移，然后將最大的那個(gè)圓盤轉(zhuǎn)移到C柱上，需要一次轉(zhuǎn)移，再將B柱上的n-1個(gè)圓盤轉(zhuǎn)移到C柱上，需要a_n-1次轉(zhuǎn)移，所以有a_n=2a_n-1+1，利用構(gòu)造法可求a_n；
（2）先求得和=，再令，則當(dāng)n≥2時(shí)，從而利用放縮法可證．
解答：解：（1）a₁=1，a₂=3，a₃=7
事實(shí)上，要將n個(gè)圓盤全部轉(zhuǎn)移到C柱上，只需先將上面n-1個(gè)圓盤轉(zhuǎn)移到B柱上，需要a_n-1次轉(zhuǎn)移，然后將最大的那個(gè)圓盤轉(zhuǎn)移到C柱上，需要一次轉(zhuǎn)移，再將B柱上的n-1個(gè)圓盤轉(zhuǎn)移到C柱上，需要a_n-1次轉(zhuǎn)移，所以有a_n=2a_n-1+1則a_n+1=2（a_n-1+1）⇒a_n+1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ-1
（2）b_n=a_n+1=2ⁿ則
令，則當(dāng)n≥2時(shí)=


又，所以對(duì)一切n∈N*有：
另方面c_n＞0恒成立，所以對(duì)一切n∈N*有
綜上所述有：
點(diǎn)評(píng)：本題的（1）問關(guān)鍵是從特殊中發(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律，考查構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）問體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)應(yīng)注意放縮法的運(yùn)用．