Question

在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，已知點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=2x的圖象上，且a₂•₅=8
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且b_n=a_n+n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，a_n+1=2a_n，從而可證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，再由a₂•₅=8可求得a₁，繼而可求其通項(xiàng)公式；
（2）b_n=a_n+n，利用分組求和的方法即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．

解答：證明：（1）∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=2x的圖象上，
∴a_n+1=2a_n，即

an+1

an

=2，
∴數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列；
設(shè)其公比為q，則q=2，
∵a₂•₅=8，
∴a₁q•a₁q⁴=a12•q⁵=8，
∴a12=

8

25

=

1

4

，又?jǐn)?shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a₁=

1

2

，
∴a_n=

1

2

×2^n-1=2^n-2；
（2）解：∵b_n=a_n+n=2^n-2+n，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（2^-1+2⁰+2¹+…+2^n-2）+（1+2+3+…+n）
=

1 2 (1-2n)

1-2

+

(1+n)×n

2

=2^n-1+

1

2

n²+

1

2

n-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比關(guān)系的確定，考查分組求和與數(shù)列的函數(shù)特性，屬于中檔題．