Question

10．設a＞1，x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤ax}\\{x+2y≤2}\end{array}\right.$，若目標函數(shù)z=x+ay最大值不小于$\frac{3}{2}$，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． a≥0
• B． a≥$\frac{3}{2}$
• C． a≥$\frac{3+\sqrt{5}}{4}$
• D． a≥$\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出角點的坐標，由z=x+ay得：y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，通過討論a的范圍，得到關于a的不等式，求出a的范圍即可．

解答 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax}\\{x+2y=2}\end{array}\right.$，解得：A（$\frac{2}{1+2a}$，$\frac{2a}{1+2a}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+2y=2}\end{array}\right.$，解得：B（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），
由z=x+ay得：y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
a＞2時，-$\frac{1}{2}$＜-$\frac{1}{a}$＜0，
直線過A（$\frac{2}{1+2a}$，$\frac{2a}{1+2a}$）時，z最大，（圖中綠線），
此時，z=$\frac{2+{2a}^{2}}{1+2a}$≥$\frac{3}{2}$，解得：a≥$\frac{3+\sqrt{5}}{4}$或a≤$\frac{3-\sqrt{5}}{4}$，
1＜a＜2時，-1＜-$\frac{1}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，
直線過B（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）時，z最大（圖中紅線），
此時，z=$\frac{2+2a}{3}$≥$\frac{3}{2}$，解得：a≥$\frac{5}{4}$，
a=2時，直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{2}$和直線y=-$\frac{1}{2}$x+1重合時，z最大，
此時z=2＞$\frac{3}{2}$，符合題意，
綜上，a≥$\frac{5}{4}$，
故選：D．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結合思想，討論a的范圍確定直線過A還是B是解題的關鍵，本題是一道中檔題．