Question

（本小題滿分16分）

已知直線：與直線：．

（1）當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若直線通過直線的定點(diǎn)，求點(diǎn)所在曲線的方程；

（3）在（2）的條件下，設(shè)，過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)(兩點(diǎn)都在軸上方)，且，求此直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）定點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）．（3）的方程為．

【解析】本試題主要考查了直線的位置關(guān)系的運(yùn)用，以及求解軌跡方程和直線方程的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)橹本�：與直線：．

，那么當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，直線表示為過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程可知其過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）因?yàn)橹本�通過直線的定點(diǎn)，則可知點(diǎn)所在曲線的方程；

（3）在（2）的條件下，設(shè)，過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)(兩點(diǎn)都在軸上方)，且，運(yùn)用向量的共線的知識(shí)得到結(jié)論。

（1）的方程化為，…………………………2分

由題意，解得所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為．………………4分

（2）由過定點(diǎn)，得，化簡(jiǎn)得，

所以點(diǎn)所在曲線的方程為．……………………………………8分

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415002030607203/SYS201208241500537316271449_DA.files/image016.png">，所以，且，

所以，所以，所以，所以．…………10分

設(shè)，則，

由，得，又由

由①②③④解之得所以，……………………………………………14分

所以的方程為．……………………………………………………16分