已知數(shù)列{f(n)}的前n項和為Sn,且Sn=n2+2n.
(1)求數(shù)列{f(n)}通項公式;
(2)若a1=f(1),an+1=f(an)(n∈N*),求證數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的前n項和Tn

解:(1)∵Sn=n2+2n,∴數(shù)列{f(n)}是一個等差數(shù)列,
由等差數(shù)列前n項和公式Sn=(a1-)×n+n2知公差為2,首項為3
∴f(n)=2n+1;
(2)由題意a1=f(1)=3,an+1=f(an)=2an+1(n∈N*),
∵an+1+1=2(an+1)(n∈N*),
∴數(shù)列{an+1}是以a1+1=4為首項,以2為公比的等比數(shù)列.
∴an+1=4×2n-1=2n+1,即an=2n+1-1
∴數(shù)列{an}的前n項和Tn=-n=2n+2-n-4
分析:(1)由Sn=n2+2n知,數(shù)列{f(n)}是一個等差數(shù)列,由公式Sn=(a1-)×n+n2知公差為2,首項為3,
(2)中的題由將(1)的結論代入可知,a1=3,an+1=f(an)=2an+1,此數(shù)列可構造為an+1+1=2(an+1)可得出其為首項是4,公比為2的等比數(shù)列
點評:本題(1)是一個基本題,考查等差數(shù)列前n項和公式比較基本;(2)需要整理觀察,要求有一定的觀察配形的能力.
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(1)求{f(n)}的通項公式;
(2)令an=31/f(n),bn=4/f(n)+1(n∈N*),若在數(shù)列{an}的前100項中,任取一項an,問an
時也在數(shù)列是的某項的概率為多少?為什么?
(3)若將(2)中的前100項推廣到前n項(n∈N*),且記上述概率為Pn,試猜測
limn→∞
Pn
(不必證明).

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