Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n，∴=2×，
∵a₁=2，∴{}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n²×2ⁿ；
（Ⅱ）S_n=2×1²+2²×2²+…+n²×2ⁿ①
①×2可得2S_n=2²×1²+2³×2²+…+n²×2ⁿ⁺¹②
①-②可得-S_n=2×1+2²×3+…+2ⁿ×（2n-1）-n²×2ⁿ⁺¹③
③×2可得-2S_n=2²×1+2³×3+…+2ⁿ⁺¹×（2n-1）-n²×2ⁿ⁺²④
③-④，可得S_n=2+2²×2+2³×2+…+2ⁿ×2-2ⁿ×（2n-1）-n²×2ⁿ⁺¹+n²×2ⁿ⁺²
=2+=2ⁿ⁺¹（n²-2n+3）-6
∴S_n═2ⁿ⁺¹（n²-2n+3）-6
分析：（Ⅰ）利用數(shù)列遞推式，可得{}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用兩次錯(cuò)位相減法，即可求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．