已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，向量
j
=(0，1)，△OFP的面積為2
3
，且
OF
•
FP
=t，
OM
=
3
3
OP
+
j
．
（I）設(shè)4＜t＜4
3
，求向量
OF
與
FP
的夾角θ的取值范圍；
（II）設(shè)以原點(diǎn)O為中心，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，以F為右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，且|
OF
|=c，t=(
3
-1)c2，當(dāng)|
OP
|取最小值時(shí)，求橢圓的方程．
分析：（1）由2
3
=
1
2
|
OF
|•|FP|•sinθ，得|
OF
|•|
FP
|=
4
3
sinθ
，由cosθ=
OF
•
FP
|
OF
|•|
FP
|
=
tsinθ
4
3
，得tanθ=
4
3
t
.由此可求出夾角θ的取值范圍．
（2）設(shè)P(x0，y0)，則
FP
(x0-c，y0)，
OF
=(c，0).由題設(shè)條件導(dǎo)出|
OP
|=
x
2
0
+
y
2
0
=
(
3
c)2+(
4
3
c
)2
≥
2
3
c•
4
3
c
=2
6
，由此可求出橢圓的方程．
解答：解：（1）由2
3
=
1
2
|
OF
|•|FP|•sinθ，得|
OF
|•|
FP
|=
4
3
sinθ
，
由cosθ=
OF
•
FP
|
OF
|•|
FP
|
=
tsinθ
4
3
，得tanθ=
4
3
t
.
∵4＜t＜4
3
∴1＜tanθ＜
3
∵θ∈[0，π]
∴夾角θ的取值范圍是（
π
4
，
π
3
）
（2）設(shè)P(x0，y0)，則
FP
(x0-c，y0)，
OF
=(c，0).∴
OF
•
FP
=(x0-c，y0)•(c，0)=(x0-c)c=t=(
3
-1)c2∴x0=
3
c
S△OFP=
1
2
|
OF
|•|y0|=2
3
∴y0=±
4
3
c

∴|
OP
|=
x
2
0
+
y
2
0
=
(
3
c)2+(
4
3
c
)2
≥
2
3
c•
4
3
c
=2
6

∴當(dāng)且僅當(dāng)
3
c=
4
3
c
，即c=2時(shí)，|
OP
|取最小值2
6
，此時(shí)，
OP
=(2
3
，±2
3
)
∴
OM
=
3
3
(2
3
，2
3
)+(0，1)=(2，3)
或
OM
=
3
3
(2
3
，-2
3
)+(0，1)=(2，-1)
橢圓長(zhǎng)軸2a=
(2-2)2+(3-0)2
+
(2+2)2+(3-0)2
=8∴a=4，b2=12
或2a=
(2-2)2+(-1-0)2
+
(2+2)2+(-1-0)2
=1+
17
∴a=
1+
17
2
，b2=
1+
17
2

故所求橢圓方程為
x2
16
+
y2
12
=1．
或
x2
9+
17
2
+
y2
1+
17
2
=1
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，點(diǎn)P（x，y）在曲線C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)，θ∈R）上運(yùn)動(dòng)．以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）寫(xiě)出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在曲線C上移動(dòng)，試求△ABM面積的最大值，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-
3
，0)，且過(guò)點(diǎn)D（2，0）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A(1，
1
2
)，若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓C的參數(shù)方程為
x=
3
+3cosθ
y=1+3sinθ
，（θ為參數(shù)），以ox為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+
π
6
)=0，則圓C截直線l所得的弦長(zhǎng)為
4
2
4
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足條件
-2≤
OM
•
OA
≤2
1≤
OM
•
OB
≤2
，則z=
OM
•
OC
的最大值為（　　）
A、-1B、0C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-
3
，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)A(1，
1
2
)．
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在直線l，滿足l過(guò)原點(diǎn)O并且交橢圓于點(diǎn)B、C，使得△ABC面積為1？如果存在，寫(xiě)出l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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