Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），P為橢圓G的上頂點(diǎn)，且∠PF₁O=45°．
（Ⅰ）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知直線l₁：y=kx+m₁與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)，直線l₂：y=kx+m₂（m₁≠m₂）與橢圓G交于C，D兩點(diǎn)，且|AB|=|CD|，如圖所示．（ⅰ）證明：m₁+m₂=0；（ⅱ）求四邊形ABCD的面積S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)F₁（-1，0），∠PF₁O=45°，可得b=c=1，從而a²=b²+c²=2，故可得橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
（ⅰ）直線l₁：y=kx+m₁與橢圓G聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可求AB，CD的長(zhǎng)，利用|AB|=|CD|，可得結(jié)論；
（ⅱ）求出兩平行線AB，CD間的距離為d，則 ，表示出四邊形ABCD的面積S，利用基本不等式，即可求得四邊形ABCD的面積S取得最大值．
解答：（Ⅰ）解：設(shè)橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
因?yàn)镕₁（-1，0），∠PF₁O=45°，所以b=c=1．
所以，a²=b²+c²=2．…（2分）
所以，橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為．…（3分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
（�。┳C明：由消去y得：．
則，…（5分）
所以 ===．
同理 ．…（7分）
因?yàn)閨AB|=|CD|，
所以 ．
因?yàn)?nbsp;m₁≠m₂，所以m₁+m₂=0．…（9分）
（ⅱ）解：由題意得四邊形ABCD是平行四邊形，設(shè)兩平行線AB，CD間的距離為d，則 ．因?yàn)?nbsp;m₁+m₂=0，所以 ．…（10分）
所以 =．
（或）
所以 當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD的面積S取得最大值為．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查三角形的面積，同時(shí)考查利用基本不等式求最值，正確求弦長(zhǎng)，表示出四邊形的面積是解題的關(guān)鍵．