Question

如圖所示，求拋物線y²=2px（p＞0）和過它上面的點P1(

p

2

，p)的切線的垂線所圍成的平面圖形的面積．

Answer 1

分析：解出y，求出y′把P₁坐標代入求出切線的斜率寫出切線的方程，與拋物線方程y²=2px（p＞0）聯(lián)立得到y(tǒng)的值，然后利用定積分求出面積即可．

解答：解：由題意令y=

2px

(x≥0)，y′=

1

2

•

1

2px

•2p=

p

2px

，y′|x=

p

2

=1，
所以過P₁點且垂直于過P₁點的拋物線的切線的直線的斜率為-1．
其方程為y-p=-(x-

p

2

)．
即2x+2y-3p=0．
與拋物線方程聯(lián)立消去x，得y²+2py-3p²=0，
解得y=p或y=-3p．
又x=-y+

3

2

p，
所以所求平面圖形的面積為S=

∫

p -3p

[(-y+

3

2

p)-

y2

2p

]dy=(-

y2

2

+

3

2

py-

1

6p

y3)

|

p -3p

=[(-

1

2

p2+

3

2

p2-

1

6

p2)-(-

9

2

p2-

9

2

p2+

9

2

p2)]=

16

3

p2．

點評：考查學生求直線方程的能力，以及拋物線的運用能力，利用定積分求圖形面積的能力．