Question

（本小題滿分14分_{高☆考♂資♀源*網(wǎng)}）

證明以下命題：

對任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b<c)，使得成等差數(shù)列。

存在無窮多個互不相似的三角形△，其邊長為正整數(shù)且成等差數(shù)列。

Answer 1

【解析】作為壓軸題，考查數(shù)學綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。

    （1）考慮到結(jié)構(gòu)要證，；類似勾股數(shù)進行拼湊。

證明：考慮到結(jié)構(gòu)特征，取特值滿足等差數(shù)列，只需取b=5a，c=7a，對一切正整數(shù)a均能成立。

結(jié)合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角形，再證明互不相似，且無窮。

證明：當成等差數(shù)列，則，

分解得：

選取關(guān)于n的一個多項式，做兩種途徑的分解

對比目標式，構(gòu)造，由第一問結(jié)論得，等差數(shù)列成立，

考察三角形邊長關(guān)系，可構(gòu)成三角形的三邊。

下證互不相似。

任取正整數(shù)m，n，若△_m，△相似：則三邊對應成比例， 

由比例的性質(zhì)得：，與約定不同的值矛盾，故互不相似。