Question

設集合M={（x，y）|x∈R，y∈R}，定義映射f：N^*→M滿足：對任意n∈N^*都有f（n）=（x_n，y_n），f（n+1）=（-

1

2

xn+

3

2

a，y_n+

1

4n2-1

），且f（1）=（

3

2

a，1），其中常數(shù)a＞0．
（Ⅰ）求y_n的表達式；
（Ⅱ）判斷x_n與a的大�。�

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意得y_n+1-y_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂項法求和即可；
（Ⅱ）由題意得x_n+1-a=-

1

2

（x_n-a），{x_n-a}是首項為

1

2

a，公比為-

1

2

的等比數(shù)列，x_n-a=

1

2

a•(-

1

2

)n-1，討論n即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得
y₁=1，y_n+1=y_n+

1

4n2-1

∴y_n+1-y_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴y_n=y₁+（y₂-y₁）+…+（y_n-y_n-1）=1+

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-3

-

1

2n-1

）=1+

1

2

（1-

1

2n-1

）=

3n-2

2n-1

．
（Ⅱ）由題意得x_n+1=-

1

2

xn+

3

2

a，∴x_n+1-a=-

1

2

（x_n-a），
∵x₁=

3

2

a，∴x₁-a=

1

2

a，
∴{x_n-a}是首項為

1

2

a，公比為-

1

2

的等比數(shù)列，
∴x_n-a=

1

2

a•(-

1

2

)n-1，
∵a＞0，∴當為奇數(shù)時，x_n-a＞0，x_n＞a，
當n為偶數(shù)時，x_n-a＜0，x_n＜a．

點評：本題主要考查數(shù)列的遞推關系及等比數(shù)列的定義性質，考查裂項相消法求數(shù)列的和等知識，屬于中檔題．