Question

下列命題：
（1）若函數(shù)f(x)=lg(x+

x2+a

)為奇函數(shù)，則a=1；
（2）函數(shù)f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；
（3）方程lgx=sinx有且只有三個(gè)實(shí)數(shù)根；
（4）對(duì)于函數(shù)f(x)=

x

，若0＜x₁＜x₂，則f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
以上命題為真命題的是

（1）（2）（3）

．（將所有真命題的序號(hào)填在題中的橫線上）

Answer 1

分析：（1）已知函數(shù)奇偶性，求參數(shù)的值，常用特殊值驗(yàn)證，代入x=0或1即得；
（2）先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)整理得到f（x）=|1+

2

sin(x+

π

4

)|，再有函數(shù)圖象的平移、對(duì)稱(chēng)變換得到f（x）的圖象，即得f（x）的周期；
（3）在同一坐標(biāo)系中，作出y=lgx與y=sinx的圖象，看交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（數(shù)形結(jié)合）
（4）（數(shù)形結(jié)合）作出函數(shù)f(x)=

x

的圖象，即可判定兩值的大小關(guān)系．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=lg(x+

x2+a

)為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即f（0）=lg(0+

0+a

)=lg

a

=0，
∴

a

=1，即a=1；
（2）∵f（x）=|1+sinx+cosx|=|1+

2

sin(x+

π

4

)|，
又由y=

2

sin(x+

π

4

)的周期是2π，將其函數(shù)圖象上移一個(gè)單位后得到y(tǒng)=

2

sin(x+

π

4

)+1的圖象，
然后再將X軸下方的圖象沿X軸旋轉(zhuǎn)180°，得到f（x）=1+

2

sin(x+

π

4

)|的圖象，
∴函數(shù)f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；
（3）作出y=lgx與y=sinx的圖象，由于y=lgx在（0，∞）上為增函數(shù)且l，g10=1，lg1=0，
故在區(qū)間（0，π）內(nèi)y=lgx與y=sinx有一個(gè)交點(diǎn)，在（π，2π）內(nèi)無(wú)交點(diǎn)，在（2π，3π）內(nèi)有三個(gè)交點(diǎn)，
∴方程lgx=sinx有且只有三個(gè)實(shí)數(shù)根；
  
（4）∵函數(shù)f(x)=

x

是單調(diào)遞增的凸函數(shù)，∴在0＜x₁＜x₂，則f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

，
∴若0＜x₁＜x₂，則f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

是錯(cuò)誤的；
故答案為（1）（2）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判定，同時(shí)考查了函數(shù)的一些性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合的方法．