Question

已知函數(shù).

⑴ 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵ 如果對(duì)于任意的，總成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

⑶ 設(shè)函數(shù)，. 過(guò)點(diǎn)作函數(shù)圖像的所有切線(xiàn)，令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的所有項(xiàng)之和的值.

 

Answer 1

【答案】

(1) .;(2) .(3) .

【解析】

試題分析：(1)利用求導(dǎo)的基本思路求解，注意導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算；（2）利用轉(zhuǎn)化思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為總成立，只需時(shí).借助求導(dǎo)，研究的性質(zhì)，通過(guò)對(duì)參數(shù)k的討論和單調(diào)性的分析探求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）化簡(jiǎn)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何含義求解曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)得到，分析得到，，則這兩個(gè)函數(shù)的圖像均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)進(jìn)行求解數(shù)列的所有項(xiàng)之和的值.

試題解析：(1) 由于，所以

.                          (2分)

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，.

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為.                                                             (4分)

(2) 令，要使總成立，只需時(shí).

對(duì)求導(dǎo)得，

令，則，()

所以在上為增函數(shù)，所以.                                                (6分)

對(duì)分類(lèi)討論：

 

① 當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為增函數(shù)，所以，即恒成立；

② 當(dāng)時(shí)，在上有實(shí)根，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091400405447083042/SYS201309140041432880749157_DA.files/image032.png">在上為增函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，，所以，不符合題意；

③ 當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為減函數(shù)，則，不符合題意.

綜合①②③可得，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是.                                                       (9分)

 (3) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091400405447083042/SYS201309140041432880749157_DA.files/image049.png">，所以，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則斜率為，

切線(xiàn)方程為，                        (10分)

將的坐標(biāo)代入切線(xiàn)方程，得

，即，                                      

令，，則這兩個(gè)函數(shù)的圖像均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也關(guān)于對(duì)稱(chēng)成對(duì)出現(xiàn)，方程，

的根即所作的所有切線(xiàn)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)構(gòu)成的數(shù)列的項(xiàng)也關(guān)于對(duì)稱(chēng)成對(duì)出現(xiàn)，在內(nèi)共構(gòu)成1006對(duì)，每對(duì)的和為，因此數(shù)列的所有項(xiàng)的和. (12分)

考點(diǎn)：1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力；2.用導(dǎo)數(shù)來(lái)描述函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)零點(diǎn)的情況.