Question

已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=a（x-1）（x-a）．
（1）若f（x）＞-a對(duì)一切x∈R恒成立，求a的取值范圍；
（2）解不等式f（x）＞x-1．

Answer 1

分析：（1）將f（x）＞-a對(duì)一切x屬于R恒成立轉(zhuǎn)化為a[x²-（a+1）x+a+1]＞0，再對(duì)a分類討論解決；
（2）不等式f（x）＞x-1轉(zhuǎn)化為（x-1）[a（x-a）-1]＞0，通過x-1＞0且a（x-a）-1＞0 或x-1＜0且a（x-a）-1＜0，使問題得到解決．

解答：解：（1）f（x）＞-a對(duì)一切x屬于R恒成立，即f（x）+a＞0對(duì)一切x屬于R恒成立，即a（x-1）（x-a）+a＞0對(duì)一切x屬于R恒成立，即a[x²-（a+1）x+a+1]＞0，
分別討論：
1）當(dāng)a=0時(shí)，左邊=0，不等式不成立，a∈∅；
2）當(dāng)a＞0時(shí)，兩邊同除以a，得x²-（a+1）x+a+1＞0，
因y=x²-（a+1）x+a+1為開口向上的拋物線，因?qū)σ磺衳屬于R不等式x²-（a+1）x+a+1＞0恒成立，
故x²-（a+1）x+a+1=0無解，其判別式（a+1）²-4（a+1）＜0，
即（a+1）（a+1-4）=（a+1）（a-3）＜0，
解得0＜a＜3；
3）當(dāng)a＜0時(shí)，兩邊同除以a，得x²-（a+1）x+a+1＜0，
因y=x²-（a+1）x+a+1為開口向上的拋物線，
不論a取什么值，都不可能使x²-（a+1）x+a+1＜0恒成立，故此時(shí)a無解；
綜上所述，只有當(dāng)0＜a＜3時(shí)，f（x）＞-a對(duì)一切x屬于R恒成立．
（2）不等式f（x）＞x-1，即a（x-1）（x-a）-（x-1）＞0，即（x-1）[a（x-a）-1]＞0，
解得x-1＞0且a（x-a）-1＞0 或x-1＜0且a（x-a）-1＜0，
①當(dāng)a=0時(shí)，解得x＜1；
②當(dāng)a＜0時(shí)，a（x-a）-1＞0?x＜a+

1

a

≤-2，
∴x-1＞0且a（x-a）-1＞0⇒x∈∅，x-1＜0且a（x-a）-1＜0?x＜-2；
∴當(dāng)a＜0時(shí)，x＜-2；
③當(dāng)a＞0時(shí)，a（x-a）-1＞0?x＞a+

1

a

≥2，
∴x-1＞0且a（x-a）-1＞0?x＞2，x-1＜0且a（x-a）-1＜0?x＜1；
∴x＞2或x＜1．
綜上所述，當(dāng)a＜0時(shí)，不等式f（x）＞x-1的解集為{x|x＜-2}；
當(dāng)a=0時(shí)，不等式f（x）＞x-1的解集為{x|x＜1}；
當(dāng)a＞0時(shí)，不等式f（x）＞x-1的解集為{x|x＜1或x＞2}；

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問題，考查的重點(diǎn)與難點(diǎn)在于分類討論思想的靈活運(yùn)用，是一道考查學(xué)生綜合運(yùn)用能力高低的一道好題．