Question

已知圓C的方程為x²+y²+6x-8y=0，直線l：y=kx+2k+1．
（Ⅰ）當(dāng)k=2時(shí)，求圓C關(guān)于直線l對(duì)稱的圓M的方程；
（Ⅱ）求直線l被圓M截得的弦長(zhǎng)的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）求出圓C關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出圓C關(guān)于直線l對(duì)稱的圓M的方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線l過(guò)圓心M時(shí)，弦長(zhǎng)的最大；當(dāng)直線l過(guò)P且與PM垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最�。�

解答： 解：（Ⅰ）圓C的方程為x²+y²+6x-8y=0，可化為（x+3）²+（y-4）²=25，則圓心C（-3，4），半徑為5．
當(dāng)k=2時(shí)，直線l：y=2x+5，
設(shè)M（a，b），則

b-4 a+3 ×2=-1 b+4 2 =2× a-3 2 +5

，
∴a=1，b=2，
∴圓M的方程為（x-1）²+（y-2）²=25；
（Ⅱ）直線l的方程可化為y-1=k（x+2），恒過(guò)定點(diǎn)P（-2，1），在圓內(nèi)．
當(dāng)直線l過(guò)圓心M時(shí)，弦長(zhǎng)的最大值為直徑10，此時(shí)l的方程為y-1=

2-1

1+2

（x+2），即x-3y+5=0；
當(dāng)直線l過(guò)P且與PM垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，此時(shí)|PM|=

10

，最小為2

52-10

=2

15

，l的方程為3x+y+5=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．