Question

已知函數(shù)（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若，，求cos2x的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡 f（x）的解析式為，由此求得周期，令（k∈Z），求出x的范圍，即得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）解法一：由已知得，平方可得，再根據(jù)，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cos2x的值．
解法二：由已知得，根據(jù)角的范圍，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，由，再利用二倍角公式運(yùn)算求出結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ） f（x）=2sinx•cosx-2sin²x+1 …（1分）
=sin2x+cos2x …（2分）
=．…（3分）
故函數(shù)f（x）的最小正周期．…（5分）
令（k∈Z），…（6分）
可得 ，
即 ，k∈z，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（k∈Z）．…（8分）
（Ⅱ）解法一：由已知得，…（9分） 
 兩邊平方，可得 ，
所以，． …（11分） 
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184812926617857/SYS201310241848129266178014_DA/18.png">，所以，
所以，．…（13分）
解法二：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184812926617857/SYS201310241848129266178014_DA/21.png">，
所以．…（9分）
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184812926617857/SYS201310241848129266178014_DA/23.png">，
解得 ．…（10分）
所以，．…（11分）
所以，
=．…（13分）
點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于中檔題．