Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若不等式S_n＞ka_n-2對一切n∈N^*恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵，n∈N^*，∴a₂+a₁=9，a₃+a₂=18，…（2分）
∴，…（4分）
又2a₁+a₁=9，∴a₁=3．
∴． …（7分）
（Ⅱ），…（9分）
∴3（2ⁿ-1）＞k•3•2^n-1-2，∴． …（11分）
令，f（n）隨n的增大而增大，
∴．∴．
∴實數(shù)k的取值范圍為． …（14分）
分析：（Ⅰ）利用等比數(shù)列{a_n}滿足，確定數(shù)列的公比與首項，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出S_n，再利用不等式S_n＞ka_n-2，分離參數(shù)，求最值，即可求實數(shù)k的取值范圍．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的通項與求和，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．