Question

3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且cosA=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求tan2A；
（2）若cosB=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}，c=2\sqrt{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合正切函數(shù)的倍角公式進(jìn)行求解，
（2）根據(jù)兩角和差的正弦公式結(jié)合正弦定理以及三角形的面積公式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）∵$cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，∴$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，則$tanA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$tan2A=\frac{2tanA}{{1-{{tan}^2}A}}=2\sqrt{2}$-------------------------（5分）
（2）∵$cosB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，∴$sinB=\frac{1}{3}$，
則$sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
由正弦定理得$a=\frac{csinA}{sinC}=2$，
所以△ABC的面積為$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$---------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和三角形面積的計(jì)算，以及兩角和差的正弦公式的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力．