Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=3，S_n為其前n項的和，滿足S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-1（n≥2），令
（1）寫出數(shù)列{a_n}的前四項，并求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）若f（x）=2^x-1，求和：b₁f（1）+b₂f•（2）+…+b_nf（n）
（3）設，求證：數(shù)列{c_n}的前n項和Q_n＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）數(shù)列的前四項：a₁=3，a₂=5，a₃=9，a₄=17，S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-1（n≥2）⇒a_n=a_n-1+2^n-1（n≥2），由此能求出a_n．
（2）由=，入手，能求出b₁f（1）+b₂f•（2）+…+b_nf（n）
的值．
（3）由，得，令，則，再由錯位相減法進行求解．
解答：解：（1）數(shù)列的前四項：a₁=3，a₂=5，a₃=9，a₄=17（2分）
S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-1（n≥2）⇒a_n=a_n-1+2^n-1（n≥2）（3分）
當n≥2時，a_n=（a_n-a_n-1）+•+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1••+2^n-2++2²+2•+3=2ⁿ+1
經驗證a1也符合，所以a_n=2ⁿ．+1（5分）
（2）=，（7分）
∴b₁f（1）+b₂f（•2）+…+b_nf（n）==（9分）
（3）由
得（11分）
令
則，
相減，得=
所以
所以（14分）
點評：本題考查數(shù)列知識的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．