Question

如圖，在錐體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=

2

，PB=2，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點
（1）證明：AD⊥平面DEF
（2）求二面角P-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理進行證明是解決本題的關(guān)鍵，在平面DEF中找兩條相交直線與AD垂直，利用60°角菱形的特征可以發(fā)現(xiàn)AD⊥DE，通過取出AD的中點構(gòu)造一個平面可以證明AD⊥EF；
（2）利用（1）中的結(jié)論找到二面角P-AD-B的平面角是解決本題的關(guān)鍵，求角往往要利用三角形中的余弦定理．

解答：解：（1）取AD的中點G，連接PG，BG，在△ABG中，根據(jù)余弦定理可以算出BG=

12+( 1 2 )2-2×1× 1 2 ×cos60°

=

3

2

，
發(fā)現(xiàn)AG²+BG²=AB²，可以得出AD⊥BG，又DE∥BG
∴DE⊥AD，
又PA=PD，可以得出AD⊥PG，而PG∩BG=G，
∴AD⊥平面PBG，而PB?平面PBG，
∴AD⊥PB，又PB∥EF，
∴AD⊥EF．又EF∩DE=E，∴AD⊥平面DEF．
（2）由（1）知，AD⊥平面PBG，所以∠PGB為二面角P-AD-B的平面角，在△PBG中，PG=

2- 1 4

=

7

2

，BG=

3

2

，PB=2，由余弦定理得
cos∠PGB=

PG2+BG2-PB2

2PG•BG

=-

21

7

，因此二面角P-AD-B的余弦值為-

21

7

．

點評：本題考查立體幾何中基本的線面關(guān)系，考查線面垂直的判定方法，考查二面角的求法，訓(xùn)練了學(xué)生基本的空間想象能力，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，解三角形的基本知識和學(xué)生的運算能力，屬于基本的立體幾何題．