Question

（本小題滿分12分） 

已知定點A(－1，0)，F(2，0)，定直線l：x＝，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由.

Answer 1

解：

(1)設P(x,y)，則

化簡得x2－＝1(y≠0)………………………………………………………………4分

(2)①當直線BC與x軸不垂直時，設BC的方程為y＝k(x－2)(k≠0)

與雙曲線x2－＝1聯立消去y得 

(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0

由題意知3－k2≠0且△＞0

設B(x1,y1),C(x2,y2)，

則

y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]

   ＝k2(＋4)

   ＝ 

因為x1、x2≠－1

所以直線AB的方程為y＝(x＋1)

因此M點的坐標為()

,同理可得

因此

            ＝ 

            ＝0

②當直線BC與x軸垂直時，起方程為x＝2，則B(2,3),C(2,－3)

AB的方程為y＝x＋1,因此M點的坐標為()，

同理可得

因此＝0

綜上＝0，即FM⊥FN

故以線段MN為直徑的圓經過點F………………………………………………12分