Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線.
（1）過的左頂點(diǎn)引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；（4分）
（2）設(shè)斜率為1的直線l交于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓相切，求證：OP⊥OQ；（6分）
（3）設(shè)橢圓. 若M、N分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值.（6分）

Answer 1

（1）；（2）見解析；（3）定值為.

（1）雙曲線，左頂點(diǎn)，漸近線方程：.
過點(diǎn)A與漸近線平行的直線方程為，即.
解方程組，得.                       2分
所以所求三角形的面積1為.               4分
（2）設(shè)直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切，
故，即.                                       6分
由，得.
設(shè)P(x₁, y₁)、Q(x₂, y₂)，則.
又，所以

，故OP⊥OQ.         10分
（3）當(dāng)直線ON垂直于x軸時(shí)，|ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為.
當(dāng)直線ON不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線ON的方程為（顯然），則直線OM的方程為.
由，得，所以.
同理.                                        13分
設(shè)O到直線MN的距離為d，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232143047861196.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，即d=.
綜上，O到直線MN的距離是定值.                          16分