(2013•大興區(qū)一模)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是等邊三角形,D是BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:直線(xiàn)A1D⊥B1C1
(Ⅱ)判斷A1B與平面ADC1的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
分析:(I)利用直三棱柱的性質(zhì)即可得出四邊形BCC1B1是平行四邊形,AA1⊥面ABC,∴BC∥B1C1,AA1⊥BC,再利用等邊三角形ABC的性質(zhì)可得AD⊥BC,利用線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明;
(II)利用平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線(xiàn)定理和線(xiàn)面平行的判定定理即可得出;
解答:證明:(Ⅰ)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥面ABC,∴AA1⊥BC,
在等邊△ABC中,D是BC中點(diǎn),∴AD⊥BC
∵在平面A1AD中,A1A∩AD=A,∴BC⊥面A1AD
又∵A1D?面A1AD,∴A1D⊥BC
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形BCC1B1是平行四邊形,∴B1C1∥BC
∴A1D⊥B1C1
(Ⅱ) 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形ACC1A1是平行四邊形,
在平行四邊形ACC1A1中聯(lián)結(jié)A1C,交于AC1點(diǎn)O,連接DO.
故O為A1C中點(diǎn).
在三角形A1CB中,D 為BC中點(diǎn),O為A1C中點(diǎn),∴DO∥A1B.
因?yàn)镈O?平面DAC1,A1B?平面DAC1,∴A1B∥面ADC1
∴A1B與面ADC1平行.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握直三棱柱的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)定理、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線(xiàn)定理和線(xiàn)面平行的判定定理是就如同的關(guān)鍵.
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