Question

11．在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，cos∠BAD=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，cos∠CAD=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
（1）求∠BAC的大小
（2）求$\frac{AC}{AD}$的大小
（3）證明△ABC為等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先求出sin∠BAD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin∠CAD=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，再由cos∠BAC=cos（∠BAD+∠CAD），能求出∠BAC．
（2）由D為BC的中點(diǎn)，得S_△BAD=S_△CAD，推導(dǎo)出AC=$\sqrt{2}AB$，由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC，推導(dǎo)出AB=BC，從而△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，設(shè)AB=BC=x，則AC=$\sqrt{2}x$，AD=$\frac{\sqrt{5}}{2}x$，由此能求出$\frac{AC}{AD}$．
（3）由D為BC的中點(diǎn)，得S_△BAD=S_△CAD，推導(dǎo)出AC=$\sqrt{2}AB$，由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC，推導(dǎo)出AB=BC，由此能證明△ABC是等腰直角三角形．

解答 解：（1）∵在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，cos∠BAD=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，cos∠CAD=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
∴∠BAD和∠CAD都是銳角，
∴sin∠BAD=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin∠CAD=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cos∠BAC=cos（∠BAD+∠CAD）
=cos∠BADcos∠CAD-sin∠BADsin∠CAD
=$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵0＜∠BAC＜180°，∴∠BAC=45°．
（2）由D為BC的中點(diǎn)，得S_△BAD=S_△CAD，
∴$\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD=\frac{1}{2}AC•AD•sin∠CAD$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{sin∠BAD}{sin∠CAD}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$=$\sqrt{2}$，∴AC=$\sqrt{2}AB$，
在△ABC中，由余弦定理得：
BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC，
∴BC²=3AC²-2$\sqrt{2}•A{C}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$，即AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
設(shè)AB=BC=x，則AC=$\sqrt{{x}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2}x$，AD=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{{x}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}x$，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}x}{\frac{\sqrt{5}}{2}x}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
證明：（3）由D為BC的中點(diǎn)，得S_△BAD=S_△CAD，
∴$\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD=\frac{1}{2}AC•AD•sin∠CAD$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{sin∠BAD}{sin∠CAD}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$=$\sqrt{2}$，∴AC=$\sqrt{2}AB$，
在△ABC中，由余弦定理得：
BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC，
∴BC²=3AC²-2$\sqrt{2}•A{C}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$，即AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查角的大小的求法，考查兩線段比值的求法，考查三角形是直角三角形的證明，考查正弦定理、同角三角函數(shù)恒等式、余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．