Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，已知點(diǎn)，滿足，設(shè)A、B是上半橢圓上滿足的兩點(diǎn)，其中．
（1）求此橢圓的方程；
（2）求直線AB的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）有題意及橢圓的方程和性質(zhì)利用，可以列出 a，b，c的方程，解出即可；
（2）由題意先設(shè)直線的方程為y=k（x+2）（k≠0），把直線方程與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，利用韋達(dá)定理整體代換，借助于與，得到k，λ的關(guān)系式，用λ表示k，有λ的范圍再求出k的范圍．
解答：解：（1）由于，
∴，解得，
∴橢圓的方程是．

（2）∵，∴A，B，N三點(diǎn)共線，
而N（-2，0），設(shè)直線的方程為y=k（x+2），（k≠0），
由消去x得：
由，解得．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得①，
又由得：（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂），∴y₁=λy₂②．
將②式代入①式得：，
消去y₂得：．
設(shè)，當(dāng)時(shí)，ϕ（λ）是減函數(shù)，
∴，∴，
解得，又由得，
∴直線AB的斜率的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了橢圓的方程及橢圓的基本性質(zhì)，直線方程與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立設(shè)而不求及整體代換的思想，還考查了利用均值不等式求值域．