Question

12．在二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．
求：（1）展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和；
（2）展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由 題 意 得 2${∁}_{n}^{1}$×$\frac{1}{2}$=1+${∁}_{n}^{2}$×$\frac{1}{4}$，化為：n²-9n+8=0，解得n=8．在 $（\sqrt{x}+\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{8}$中，令x=1，可得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和．
（Ⅱ） 設(shè) 展 開(kāi) 式 中 第 r+1 項(xiàng) 系 數(shù) 最 大，T_r+1=${∁}_{8}^{r}$$（\sqrt{x}）^{8-r}$$（\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{r}$=$（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}$${x}^{4-\frac{5r}{6}}$，則$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}≥（\frac{1}{2}）^{r-1}{∁}_{8}^{r-1}}\\{（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}≥（\frac{1}{2}）^{r+1}{∁}_{8}^{r+1}}\end{array}\right.$，解得r即可得出．

解答 解：（Ⅰ） 由 題 意 得 2${∁}_{n}^{1}$×$\frac{1}{2}$=1+${∁}_{n}^{2}$×$\frac{1}{4}$，
化為：n²-9n+8=0，解得n=1（舍去）或8．
∴n=8．
在 $（\sqrt{x}+\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{8}$中，令x=1，可得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和=$（\frac{3}{2}）^{8}$=$\frac{6561}{256}$．
（Ⅱ） 設(shè) 展 開(kāi) 式 中 第 r+1 項(xiàng) 系 數(shù) 最 大，
則 T_r+1=${∁}_{8}^{r}$$（\sqrt{x}）^{8-r}$$（\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{r}$=$（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}$${x}^{4-\frac{5r}{6}}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}≥（\frac{1}{2}）^{r-1}{∁}_{8}^{r-1}}\\{（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}≥（\frac{1}{2}）^{r+1}{∁}_{8}^{r+1}}\end{array}\right.$，解得 2≤r≤3．
因 此 r=2 或 3，即 展 開(kāi) 式 中 第 3 項(xiàng) 和 第 4 項(xiàng) 系 數(shù) 最 大，且 T₃=$（\frac{1}{2}）^{2}{∁}_{8}^{2}$${x}^{\frac{7}{3}}$=7${x}^{\frac{7}{3}}$．
T₄=$（\frac{1}{2}）^{3}{∁}_{8}^{3}{x}^{\frac{3}{2}}$=7${x}^{\frac{3}{2}}$．
∴展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)分別為：7${x}^{\frac{7}{3}}$，7${x}^{\frac{3}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．