Question

18．已知不等式$\frac{a}{x-2}$＞1-a
（1）若a=x，求關于x不等式的解集；   
（2）若a≠1，求關于x不等式的解集．

Answer 1

分析 （1）若a=x，根據(jù)分式不等式的解法，即可求關于x不等式的解集；   
（2）若a≠1，討論a的取值范圍，即可求關于x不等式的解集．

解答 解：（1）a=x，則$\frac{x}{x-2}$＞1-x，
∴$\frac{{{x^2}-2x+2}}{x-2}＞0\\∵{x^2}-2x+2={（{x-1}）^2}+1＞0$，∴$x＞2\\∴原不等式的解集為\left\{{x\left|{x＞2}\right.}\right\}\\（2）\frac{a}{x-2}＞1-a?\frac{{（{a-1}）x-（{a-2}）}}{x-2}＞0\end{array}$，故不等式的解集為（2，+∞），
（2）①a＞1時，可轉化為$（{x-2}）（{x-\frac{a-2}{a-1}}）＞0$
此時$\frac{a-2}{a-1}＜2$，不等式的解集為$\left\{{\left.x\right|x＜\frac{a-2}{a-1}或x＞2}\right\}$
②a＜1時，可轉化為$（{x-2}）（{x-\frac{a-2}{a-1}}）＜0$
（i）當$\frac{a-2}{a-1}＞2$即0＜a＜1時，不等式的解集為$\left\{{\left.x\right|2＜x＜\frac{a-2}{a-1}}\right\}$
（ii）當$\frac{a-2}{a-1}=2$即a=0時，不等式的解集為∅
（iii）當$\frac{a-2}{a-1}＜2$即a＜0時，不等式的解集為$\left\{{\left.x\right|\frac{a-2}{a-1}＜x＜2}\right\}$，
綜上所述：當a＞1時，解集為$\left\{{\left.x\right|x＜\frac{a-2}{a-1}或x＞2}\right\}$；
當0＜a＜1時，解集為$\left\{{\left.x\right|2＜x＜\frac{a-2}{a-1}}\right\}$；
當a=0時，不等式的解集為∅；
當a＜0時，不等式的解集為$\left\{{\left.x\right|\frac{a-2}{a-1}＜x＜2}\right\}$．

點評 本題主要考查分式不等式的解法，利用分類討論是解決本題的關鍵．