解:(I)由題設(shè)知

,得

.
又已知t≠2,可得

.
由t≠0,t≠2,f(b)≠g(b),可知

,
所以

是等比數(shù)列,其首項為

,公比為

.
于是

,即

.
又

存在,可得

,所以-2<t<2且t≠0.

.
(II)證明:因為g(x)=f
-1(x),
所以a
n=g(b
n+1)=f
-1(b
n+1),即b
n+1=f(a
n).
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明a
n+1<a
n(n∈N
*).
(1)當(dāng)n=1(2)時,由f(x)(3)為增函數(shù),且f(1)<1(4),
得a
1=f(b
1)=f(1)<1(5),b
2=f(a
1)<f(1)<1(6),a
2=f(b
2)<f(1)=a
1(7),
即a
2<a
1,結(jié)論成立.
(8)假設(shè)n=k(9)時結(jié)論成立,即a
k+1<a
k(10).由f(x)(11)為增函數(shù),得f(a
k+1)<f(a
k)(12),即b
k+2<b
k+1(13),進而得f(b
k+2)<f(b
k+1)(14),即a
k+2<a
k+1(15),這就是說當(dāng)n=k+1(16)時,結(jié)論也成立.根據(jù)(1)和(2)可知,對任意的n∈N
*(17),a
n+1<a
n(18).
分析:(I)由題設(shè)知

,所以

.由t≠2,知

.由t≠0,t≠2,
f(b)≠g(b),知

,

,分析可得答案.
(II)因為g(x)=f
-1(x),所以b
n+1=f(a
n).然后用數(shù)學(xué)歸納法證明a
n+1<a
n(n∈N
*).
點評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要注意公式的合理運用.